\subsection{平行线的判定}\label{subsec:czjh1-2-6}

现在，我们来研究怎样才能判断两条直线是平行线。

在上一节画平行线 $AB$、$CD$（图 \ref{fig:czjh1-2-15}） 时，我们是把三角板由虚线位置推到实线位置画出的，
这就是说，把尺边 $EF$ 看作截线，使同位角相等，作出的直线 $AB$、$CD$ 就是平行线。
我们把这个事实作为判定两条直线平行的公理：

\begin{gongli}[公理]
    两条直线被第三条直线所截，如果同位角等，那么这两条直线平行。
\end{gongli}

这个公理可以简单说成：\begin{gongli}
    同位角相等，两直线平行。
\end{gongli}

例如，两条直线 $AB$、$CD$ 被直线 $EF$ 所截（图 \ref{fig:czjh1-2-17}），
如果已知同位角 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 都是 $85^\circ$，
那么 $\angle 1 = \angle 2$，就可以判定 $AB \pingxing CD$。
根据的就是 “同位角相等，两直线平行”。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-17}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-17}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-18}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-18}
    \end{minipage}
\end{figure}


根据公理，由同位角相等可以判定两条直线平行。
那么由内错角、同旁内角的关系是否也可以判定两条直线平行呢？
我们来看图\ref{fig:czjh1-2-18}。 因为由同位角 $\angle 1 = \angle 2$，就可以推出 $AB \pingxing CD$。
所以只要找出在什么情形下，$\angle 1 = \angle 2$ 就可以了。
在图中我们发现 $\angle 1 = \angle 3$，$\angle 1$ 与 $\angle 4$ 互补。
如果内错角 $\angle 3 = \angle 2$， 或同旁内角 $\angle 4$ 与 $\angle 2$ 互补，
就可以推出 $\angle 1 = \angle 2$，于是 $AB \pingxing CD$。下面我们写出推理过程：

$\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle 3 = \angle 2$（已知）\\
    $\angle 1 = \angle 3$（对顶角相等）
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$（等量代换）

$\therefore$ \quad $AB \pingxing CD$（同位角相等，两直线平行）

因此，我们得到另一个平行线的判定方法：

\begin{gongli}
    两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
\end{gongli}

这句话可以简单说成：\begin{gongli}
    内错角相等，两直线平行。
\end{gongli}

$\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle 4$ 与 $\angle 2$ 互补（已知）\\
    $\angle 1$ 与 $\angle 4$ 互补（邻补角定义）
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$（同角的补角相等）

$\therefore$ \quad $AB \pingxing CD$（同位角相等，两直线平行）

由此，我们得到又一个平行线的判定方法：

\begin{gongli}
    两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
\end{gongli}

这句话可以简单说成\begin{gongli}%
    同旁内角互补，两直线平行。
\end{gongli}


\begin{lianxi}

口答下列各题：

\xiaoti{如图，直线 $AB$ 和 $CD$ 被直线 $EF$ 所截。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{量得 $\angle 1 = 80^\circ$， $\angle 2 = 80^\circ$， 就可以判定 $AB \pingxing CD$。它的根据是什么？}

    \xxt{量得 $\angle 3 = 100^\circ$， $\angle 4 = 100^\circ$， 也可以判定 $AB \pingxing CD$。它的根据是什么？}

    \xxt{量得 $\angle 1 = 80^\circ$， $\angle 3 = 100^\circ$， 也可以判定 $AB \pingxing CD$。它的根据是什么？}

\end{xiaoxiaotis}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec6-lx-1}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec6-lx-2}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{如图， $BE$ 是 $AB$ 的延长线。量得 $\angle CBE = \angle A = \angle C$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{从 $\angle CBE  = \angle A$， 可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？}

    \xxt{从 $\angle CBE  = \angle C$， 可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{图 \ref{fig:czjh1-2-7} 中， 木工用角尺画出工件边缘的几条垂线，这些垂线是否平行？能否用几何语言说出这个事实。}

\end{lianxi}

